Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，sinA=，AB=14，BD是AC邊上的中線．
求：（1）△ABC的面積；
（2）∠ABD的余切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．先由sinA=，可設(shè)CH=3x，那么AC=5x，根據(jù)勾股定理得出AH=4x，在直角△BCH中，由∠ABC=45°，得出BH=CH=3x，再根據(jù)AB=AH+HB列出關(guān)于x的方程，解方程求出x=2，得到CH=6，然后根據(jù)△ABC的面積=AB•CH即可求解；
（2）作DM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．先由DM∥CH，AD=CD，得出M為AH的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DM=3，則AM=4，BM=10，然后在直角△BDM中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出∠ABD的余切值．
解答：解：（1）作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．
∵sinA=，
∴設(shè)CH=3x，那么AC=5x，AH=4x．
∵∠ABC=45°，
∴BH=CH=3x．
∵AB=14，
∴4x+3x=14，
∴x=2，即CH=6，
∴△ABC的面積=AB•CH=×14×6=42；

（2）作DM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．
∵DM∥CH，AD=CD，
∴DM=CH=3，AM=4．
∴BM=10，
∴cot∠ABD==．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理，難度適中．通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．