Question

【題目】如圖1是一塊內置量角器的等腰直角三角板，它是一個軸對稱圖形．已知量角器所在的半圓O的直徑DE與AB之間的距離為1，DE＝4，AB＝8，點N為半圓O上的一個動點，連結AN交半圓或直徑DE于點M．

（1）當AN經過圓心O時，求AN的長；

（2）如圖2，若N為量角器上表示刻度為90°的點，求△MON的周長；

（3）當時，求△MON的面積．

Answer 1

【答案】（1）AN＝+2；（2）；（3）或1﹣．

【解析】

(1)如圖1中，連接FO延長FO交AB于H．則FH⊥AB，FH⊥DE．解直角三角形求出AO即可解決問題．

(2)如圖2中，連接OM，作OJ⊥MN．利用相似三角形的性質求出NJ，再利用垂徑定理求出MN即可解決問題．

(3)分兩種情形：如圖3﹣1中，連接AO，延長AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，連接OM，ON．設AM=MN=x，OJ=y，構建方程組即可解決問題．如圖3﹣2中，連接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．想辦法求出OM，NK即可解決問題．

(1)如圖1中，連接FO延長FO交AB于H．則FH⊥AB，FH⊥DE．

∵DE=4，

∴⊙O的半徑為2，

∵FA=FB，FH⊥AB，

∴AH=HB=4，

在中，OH=1，AH=4，

∴，

∴；

(2)如圖2中，連接OM，作OJ⊥MN于J．

在中， AH=4，，

∴，

∵，公共，

∴△OJN∽△AHN，

∴，即，

∴JN=，

∵OJ⊥MN，OM=ON，

∴JM=JN，

∴MN=2JN=，

∴△MON的周長=2+2+=；

(3)如圖3﹣1中，連接AO并延長AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，連接OM，ON．

∵，

∴AM=MN=，

設AM=MN=x，OJ=y，

∵OJ⊥MN，OM=ON，

∴JM=JN=，

在中，

，即①，

在中， AO=，，

∴，即②，

聯立①②并解得，，

∴，OJ=，

∴S△MON=．

如圖3﹣2中，連接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．

∵AM=MN，MK∥AJ，

∴MK是的中位線，

∴NK=JK=OH=1，MK= AJ，

∵NJ⊥AB，DE∥AB，

∴NK⊥OE，

∴sin∠NOK=，

∵，

∴∠NOK=，

∴OK=NK=，

∵NJ⊥AB，FH⊥AB，DE∥AB，

∴四邊形OKJH是矩形，

∴HJ=OK=，

∴AJ= AH+ HJ =4+，

∴MK=AJ=2+，

∴OM=MK﹣OK= 2+﹣=2﹣，

∴S△MON=(2﹣)×1=1﹣，

綜上所述，滿足條件的△MON的面積為或1﹣．