Question

如圖，在直角坐標系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q為線段AB上一動點，OQ與過O、C、D三點的圓交于點P．問OP•OQ的值是否變化？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：連接DC、PC，由已知得OA=12，OB=9，OC=3，OD=4，以及∠COD=∠BOA=90°，可證△COD∽△BOA，得∠1=∠A，又O、C、P、D四點共圓，故∠1=∠2，即∠2=∠A，再證△POC∽△AOQ，利用相似比求解．
解答：解：點Q在線段AB上運動的過程中，OP•OQ的值是不變的．
證明：連接DC、PC
∵，
∠COD=∠BOA=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴∠1=∠A，
∵O、C、P、D四點共圓，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠POC=∠AOQ，
∴△POC∽△AOQ，
∵，
∴OP•OQ=OC•OA=36．
點評：本題考查了四點共圓的判斷，相似三角形的判定與性質．關鍵是根據已知條件證明三角形相似，由相似比得兩線段的積為常數．