Question

已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交BC的延長線于點F。

（1）求證：AD=BD；
（2）求證：DF是⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，sin∠F=，求DE的長。

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連結CD， ∵BC是直徑， ∴∠BDC=90°，即CD⊥AB ∵AC=BC， ∴AD=BD； （2）連結OD， ∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°， ∴∠ADE=∠DCO， ∵OC=OD， ∴∠DCO=∠CDO， ∴∠CDO=∠ADE， 由（1）得∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDO+∠CDE=90°，即∠ODF=90°， ∴DF是⊙O的切線； （3）在Rt△DOF中， ∵sin∠F=， ∴OF=5， ∵OC=3， ∴CF=5-3=2， 由（2）得∠DEA=∠ODF=90°， ∴OD∥AC， ∴△CEF∽△ODF， ∴，即， ∴DE=。