Question

（2013•蘇州模擬）若關于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數根x₁，x₂且x₁≠x₂，有下列結論：
①x₁=2，x₂=3； ②m＞-

1

4

； ③二次函數y=（x-x₁）（x-x₂）+m的圖象與x軸的交點坐標為（2，0）（3，0）．
其中，正確結論的個數是

2

．

Answer 1

分析：將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式大于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可對選項②進行判斷；
再利用根與系數的關系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；
將選項③中的二次函數解析式整理后，利用根與系數關系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數解析式，令y=0，得到關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數圖象與x軸的交點坐標，即可對選項③進行判斷．

解答：解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有兩個不相等的實數根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-

1

4

，故選項②正確；

∵一元二次方程實數根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而選項①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；

二次函數y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項③正確．
綜上所述，正確的結論有2個：②③．
故答案是：2．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解，根與系數的關系，以及根的判別式的運用，是中考中常考的綜合題．