Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動. 動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點. 連結FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．

(1) 當t＝1秒時，求梯形OPFE的面積；

(2) t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

(3) 設t的值分別取t₁、t₂時(t₁≠t₂)，所對應的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷.

 

Answer 1

【答案】

（1）18；（2）t=5時，最大面積是50；（3）相似

【解析】

試題分析：（1）先根據直線的性質求出A、B兩點的坐標，再根據點A的移動規律，得到AP的長，從而求出OP的長；又因為EF=BE，用OB的長減去OE的長即可求出EF的長；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積；

（2）設OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉化為關于t的二次函數表達式，求二次函數的最大值即可；

（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長度表達式，計算出對應邊的比值，加上一個夾角相等，即可證得結論．

設梯形OPFE的面積為S．

（1）對于直線y=-x+20，當x=0時，y=20；當y=0時，x=20，

∴A(20，0)，B(0，20)

∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°

當t=1時，OE=1，AP=3，

∴OP=17，EF=BE=19

∴S=(OP+EF)·OE=18；

(2)OE=t，AP=3t，

∴OP=20-3t，EF=BE=20-t

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴當t=5(在0<t<范圍內)時，S_最大值=50；

(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 

又AP=3t.

當t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；

當t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，

又∠A=∠A，

∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.

考點：本題考查了相似三角形的判定與性質，二次函數的性質

點評：解答本題的關鍵是熟記求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．