Question

如圖，拋物線y=x²-px-q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知∠ACB=Rt∠，∠CAO=α，∠CBO=β，tanα-tanβ=4．
（1）求拋物線的解析式，并用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸方程；
（2）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓正好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）本題要先設(shè)出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)tanα-tanβ=4及射影定理得出的OC²=OA•OB以韋達(dá)定理為基礎(chǔ)來求出p，q值．即可確定出拋物線的解析式，然后根據(jù)解析式即可得出拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知了MN與x軸平行，且以MN為直徑的圓與x軸相切，那么M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+r，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-r，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為r或-r（要分M在x軸的上、下方兩種情況進(jìn)行討論），那么M點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)該是（2+r，r）或（2+r，-r）．將其代入拋物線的解析式中即可得出r的值．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，0）；則有：
x₁+x₂=p，x₁•x₂=-q；OA=-x₁，OB=x₂；OA•OB=-q．
∵tanα-tanβ=

OC

OA

-

OC

OB

=

OC(OB-OA)

OA•OB

=

q(x2+x1)

-x1x2

=

q•p

-(-q)

=4
∴p=4
∵∠ACB=90°，且OC⊥AB
根據(jù)射影定理可得：OC²=OA•OB，q²=-x₁•x₂=q
解得q=1，q=0（不合題意舍去）．
因此拋物線的解析式為y=x²-4x-1=（x-2）²-5．
因此拋物線的對稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-5）．

（2）由于MN與x軸平行，且以MN為直徑的圓與x軸相切，
因此M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
設(shè)圓的半徑為r（r＞0）．
可設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2+r，-r）或（2+r，r）
當(dāng)M在x軸上方時(shí)，r=（2+r）²-4（2+r）-1
解得r=

1+ 21

2

（因?yàn)榘霃綖檎�值，故舍去�?fù)值）
當(dāng)M在x軸下方時(shí)，-r=（2+r）²-4（2+r）-1
解得r=

21 -1

2

（因?yàn)榘霃綖檎�值，故將�?fù)數(shù)舍去）
∴此圓的半徑為

21 ±1

2

．

點(diǎn)評：本題是集方程，函數(shù)，圓，三角于一體的綜合題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力．