Question

【題目】已知如圖，四邊形ABCD為矩形，點O是AC的中點，過點O的一直線分別與AB、CD交于點E、F，連接BF交AC于點M，連接DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，則下列結論：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四邊形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2，其中正確結論是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①根據已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF與△CBF關于直線BF對稱，進而求得FB⊥OC，OM＝CM；

②因為△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不會全等于△CBM．

③先證得∠ABO＝∠OBF＝30°，再證得OE＝OF，進而證得OB⊥EF，因為BD、EF互相平分，即可證得四邊形EBFD是菱形；

④根據三角函數求得MB＝，OF＝，根據OE＝OF即可求得MB：OE＝3：2．

解：連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點，

∴BD也過O點，

∴OB＝OC，

∵∠COB＝60°，OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，

在△OBF與△CBF中

，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱，

∴FB⊥OC，OM＝CM；

∴①正確，

∵∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM＝∠CBM＝30°，

∴∠ABO＝∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵OA＝OC，

易證△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴OB⊥EF，

∴四邊形EBFD是菱形，

∴③正確，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB錯誤．

∴②錯誤，

∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，

∴MB＝，OF＝，

∵OE＝OF，

∴MB：OE＝3：2，

∴④正確；

故答案為：①③④