Question

（2005•眉山）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于M點，AF是兩圓的外公切線，A、B是切點，DF經過O₁、O₂，分別交⊙O₁于D、⊙O₂于E，AC是⊙O₁的直徑，BC經過M點，連接AD．
（1）求證：AD∥BC；
（2）求證：MF²=AF•BF；
（3）如果⊙O₁的直徑長為8，tan∠ACB=，求⊙O₂的直徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同弧的圓周角相等，先證∠ADM=∠ACB，再證△O₁AD為等腰三角形，根據等量代換可證∠DAC=∠ACB，即可證得．
（2）要證結論，必先證△AMF∽△MBF，根據切線定理，即可證得∠ADO₁=∠MAB，又在第1問的基礎上進行等量代換，就可證得AAA．
（3）由切割線定理和勾股定理多次結合使用，即可求得．
解答：（1）證明：∵∠DO₁A=∠CO₁M，O₁A=O₁D=O₁C=O₁M
∴∠ADO₁=∠O₁MC=∠DAO₁=∠O₁CM（1分）
∴DA∥CM（2分）

（2）證明：連接AM，（3分）
∵∠BME=∠O₁MC
又∵∠O₁MC=∠ADO₁∴∠BME=∠ADO₁
又∵AB切⊙O₁于A
∴∠ADO₁=∠MAB
∴∠MAB=∠BME∠F=∠F
∴△MBF∽△AMF（4分）
∴
即：MF²=AF•BF（5分）

（3）解：在Rt△ACB中，
∵tan∠ACB=
又∵AC=8
∴AB=6（6分）
∵BC==10
∵AB²=BM•BC
∴6²=BM×10
∴BM=3.6（7分）
又∵∠ACB=∠BME
∴tan∠BME=
∴BE=2.7（8分）
∴ME==4.5（9分）．
點評：切線長定理和切割線定理是中考的熱點，掌握其用法，并與勾股定理和相似三角形綜合應用，即可解答此類題．