Question

如圖，平面直角坐標系中有一矩形ABCD（O為原點），點A、C分別在x軸、y軸上，且C點坐標為（0,6）；將BCD沿BD折疊（D點在OC邊上），使C點落在OA邊的E點上，并將BAE沿BE折疊，恰好使點A落在BD的點F上.

(1)直接寫出∠ABE、∠CBD的度數，并求折痕BD所在直線的函數解析式；

(2)過F點作FG⊥x軸，垂足為G，FG的中點為H，若拋物線經過B、H、D三點，求拋物線的函數解析式；

(3)若點P是矩形內部的點，且點P在（2）中的拋物線上運動（不含B、D點），過點P作PN⊥BC分別交BC和BD于點N、M，設h=PM-MN，試求出h與P點橫坐標x的函數解析式，并畫出該函數的簡圖，分別寫出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°   

在△ABE中，AB＝6

BC=BE=

CD=BCtan30°=4

∴OD=OC-CD=2

∴B(，6)   D(0,2)

設BD所在直線的函數解析式是y=kx+b

   ∴ 

所以BD所在直線的函數解析式是

(2)∵EF=EA=ABtan30°=   ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°

又∵FG⊥OA     

∴FG＝EFsin60°=3       GE=EFcos60°=   OG=OA-AE-GE=

又H為FG中點

∴H（，）                                          

∵B(，6) 、  D(0,2)、 H（，）在拋物線圖象上

      ∴  

∴拋物線的解析式是

(2)∵MP=

MN=6-

H=MP-MN=

由得

該函數簡圖如圖所示：

當0<x<時,h<0，即HP<MN

當x=時，h=0，即HP=MN

當<x<時，h>0，即HP>MN