Question

如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點
（1）求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。

Answer 1

（1）證明：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，EF=AC。
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。
∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。
∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形。
設AC與EH交于點M，
在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，則EH∥BD，同理GH∥AC。
又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。
∴四邊形EFGH是正方形。
（2）解：連接EG。

在梯形ABCD中，∵E、F分別是AB、DC的中點，
∴。
在Rt△EHG中，∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴，即四邊形EFGH的面積為。

三角形中位線定理，等腰梯形的性質，正方形的判定，梯形中位線定理，勾股定理。
（1）先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判斷。
（2）連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結合（1）的結論求出 ，也即得出了正方形EHGF的面積。