Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，點D是AC的中點，連接BD，作AE⊥BC于E，交BD于點F，點G是BC的中點，連接FG，過點B作BH⊥AB交FG的延長線于H．

（1）若AB=3，求AF的長；

（2）求證；BH+2CE=AB．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由條件得△ABE是等腰直角三角形，AE=3，可證△AEC≌△BEF，有EF=CE，根據等腰三角形的性質可知BD是AC的中垂線，連結CF，則AF=CF，設AF=x，EF=3-x，在Rt△EFC中，（3-x）2+（3-x）2=x2，解此方程即可；

（2）可先證△BGH≌△CGF，可得BH=CF=AF，由AE=BE=AF+EF，BE+CE=BC=AB，即可得證．

（1）連結CF，

∵AE⊥BC，∠ABC=45°，

∴AE=BE，AE=ABsin45°=，

∵AB=BC，點D是AC的中點，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AF=CF，∠CAE=∠DBC，

在△AEC和△BEF中，，

∴△AEC≌△BEF （AAS），

∴CE=EF，

設AF=x，EF=3-x，在Rt△EFC中，CE2+EF2=CF2，

∴（3-x）2+（3-x）2=x2，解得，x=，

（2）證明：∵BH⊥AB，∠ABC=45°，

∴∠HBG=45°，

由（1）知∠FCE=45°，

∴∠FCE=∠HBG，

∵點G是BC的中點，

∴BG=CG，

在△BGH和△CGF中，，

∴△BGH≌△CGF（ASA），

∴BH=CF，

∴AB=BE+CE=AE+CE=AF+EF+CE，

∴AB=BH+CE+CE=BH+2CE．