Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與點C和點重合），連接PB，過點P作交射線DA于點F，連接BF． 已知AD=3，CD=3，設CP的長為x，

（1）線段的最小值 ，當x=1時， ；

（2）如圖，當動點運動到AC的中點時，與的交點為G，的中點為，求線段GH的長度；

（3）當點在運動的過程中，

①試探究是否會發生變化？若不改變，請求出大小；若改變，請說明理由；

②當為何值時，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1），30°；（2）；（3）①30°；②x=3或3

【解析】

（1）當BP最小時，即BP⊥AC，根據相似三角形的性質，可求出BP值，當x=1時，可得出△BPN∽△PMF，由此可得出tan∠FBP的值，則可得到∠FBP的值；

（2）可證BP垂直平分AP，求得FP=，證GH是Rt△FGP中線，則GH=FP；

（3）①過P作PN⊥BC交AD于M，可證△FMP∽△PNB，設PC=x，PN=，可求得NC，MP，BN長度，tan∠FBP===，即可求得∠FBP的大小；

②分三種情況討論求解即可.

（1）當BP最小時，A與F重合，即BP⊥AC，

∵AD=3，CD=3，

∴AC=6，∠BAC=30°，

在Rt△ABC和Rt△APB中，∠BAC=∠PAB，

∴△ABC∽△APB，

∴=，

∴=，

∴BP=；

作PM⊥BC于N，交AD于M，

當x=1時，PN=，MP=，CN=，BN=，

∵∠BNP=∠PMF=∠BPM=90°，

∴∠FPM+∠PFM=90°，∠FPM+∠BPN=90°,

∴∠PFM=∠BPN，

∴△BPN∽△PMF，

∴===tan∠FBP=，

∴當x=1時，∠FBP=30°;

（2）∵P為AC中點，

∴AP=PC=AB=3，

∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°，

在Rt△ABF和Rt△PBF中，AB=BP，BF=BF，

∴Rt△ABF≌Rt△PBF，

∴AG=PG，∠AGB=∠PGB=90°，

∴BF垂直平分AP，

在Rt△BFP中，∠PBF=30°，BP=3，

∴PF=tan30°×3=，

∵H為PF中點，

∴GH為Rt△PGF的中線，

∴GH=PF=;

（3）①∠FBP=30°，

過P作PN⊥BC交AD于M，

∵∠PBN=∠FPM，∠BPN=∠PFM，

∴△FMP∽△PNB，

設CP=x，則PN=，NC=x，MP=3-x，BN=3-x，

∴tan∠FBP===，

∴∠FBP=30°；

②（i）若AF=FP，則∠FPA=∠FAP=30°，

∴AB=BP，且△ABP為等邊三角形，

∴BF為△ABP垂直平分線，

∴AB=BP=3，即x=3；

（ii）若AP=FP，則∠APF=120°＞90°（舍去）；

（iii）若AP=AF，則∠CBP=∠CPB=75°，BC=PC，此時x=3.