Question

在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．
（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，根據垂徑定理可得AE=AC，再根據翻折的性質可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到所對的圓周角，然后根據∠ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角，計算即可得解．
解答：解：（1）如圖，過點O作OE⊥AC于E，
則AE=AC=×2=1，
∵翻折后點D與圓心O重合，
∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（r）²，
解得r=；

（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根據翻折的性質，所對的圓周角等于所對的圓周角，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，翻折的變換的性質，以及圓周角定理，（1）作輔助線構造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關鍵，（2）根據同弧所對的圓周角相等求解是解題的關鍵．