Question

在某張航海圖上，標明了三個觀測站的坐標，它們分別是O（0，0）、B（6，0）和C（6，8），由這三個站點確定的圓形區域是海洋生物保護區．
（1）求該生物保護區的面積；
（2）某時刻海面上出現一艘漁船A，在觀測站O測量A位于北偏東60°方向，同時在觀測站B測得A位于北偏東30°方向，求漁船A與觀測站B的距離；
（3）當漁船A由（2）中位置向正西方向航行時，是否會進入生物保護區？請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接CB，CO，則CB∥y軸，
∴∠CBO=90°，
設O′為由O、B、C三點所確定圓的圓心，則OC為⊙O′的直徑．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC==10，
∴半徑OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π；

（2）過點A作AD⊥x軸于點D，依題意，得∠BAD=∠CBA=30°，
在Rt△ABD中，設BD=x，則AB=2x，AD=x，
由題意知：OD=OB+BD=6+x，
在Rt△AOD中，∠AOD=90°-60°=30°，
∴OD=AD，即6+x=×x，
解得x=3，
∴AB=2x=2×3=6；

（3）解法一：過點A作AG⊥y軸于點G，過點O′作O′E⊥OB于點E，并延長EO′交AG于點F．
由（1）知，OO′=5，由垂徑定理得，OE=BE=OB=3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E==4，
∵四邊形FEDA為矩形，
∴EF=DA，而AD=x=3，
∴O′F=3-4≈1.196＜5，
∴直線AG與⊙O′相交，A船會進入海洋生物保護區．
解法二：AD=x=3，
設直線O′F交⊙O′于點P，PE=5+4=9＞3，即PE＞AD，
由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＞FE，
所以A船會進入海洋生物保護區．
分析：（1）連接CB，CO，由CB∥y軸，得出∠CBO=90°，根據勾股定理求出OC的長，得到半徑的長，再根據面積公式求得圓形區域的面積；
（2）過點A作AD⊥x軸于點D，設BD=x，解Rt△ABD，得出AB=2x，AD=x，則OD=6+x，再解Rt△AOD，得出OD=AD，列出關于x的方程，求得AB的長；
（3）根據已知求得AD的長，設直線O′F交⊙O′于點P，從而求得PE的長．將PE與AD比較，若PE＜AD則不會進入海洋生物保護區，否則能進入．
點評：此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，圓形的面積公式，勾股定理等知識，難度適中．