Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為的⊙C與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，且點C在x軸的上方．
（1）求圓心C的坐標；
（2）已知一個二次函數的圖象經過點A、B、C，求這二次函數的解析式；
（3）設點P在y軸上，點M在（2）的二次函數圖象上，如果以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理即可求得點C的坐標；
（2）利用待定系數法：設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，將點A，B，C的坐標代入二次函數的解析式組成方程組，解方程組即可求得；
（3）分別從四邊形APBM、四邊形ABMP、四邊形ABPM是平行四邊形分析，根據平行四邊形的性質，即可求得點M的坐標，注意不要漏解．
解答：解：（1）連接AC，過點C作CH⊥AB，垂直為H，
由垂徑定理得：AH==2，
則OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又點C在x軸的上方，
∴點C的坐標為（1，4）．

（2）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意，得，
解這個方程組，得，
∴這二次函數的解析式為y=-x²+2x+3．

（3）①當四邊形APBM是平行四邊形時，過點M作MK⊥x軸，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，
則BK=OA=1，則點M的橫坐標為2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此時點M的坐標為（2，3）；
②∵當PM∥AB，PM=AB時，四邊形APMB是平行四邊形，
則設M的坐標為（4，y），則可得y=-16+8+3=-5，
則此時點M的坐標為（4，-5）；
③當四邊形ABPM是平行四邊形時，
設點M的坐標為（-4，y），
則可得y=-16-8+3=-21，
則此時點M的坐標為（-4，-21）．
∴點M的坐標為（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．
點評：此題考查了垂徑定理、待定系數法求二次函數的解析式、以及平行四邊形的性質等知識．此題綜合性很強，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．