Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若動點P從A點出發，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發以每秒3cm的速度沿CB向B點運動，當P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設點P、Q同時出發，并運動了t秒，回答下列問題：

（1）BC= cm；

（2）當t為多少時，四邊形PQCD成為平行四邊形？

（3）當t為多少時，四邊形PQCD為等腰梯形？

（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）當t=秒時四邊形PQCD為平行四邊形；（3）當t=時，四邊形PQCD為等腰梯形；（4）存在t， t的值為秒或4秒或秒．

【解析】試題分析：（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的長，根據勾股定理可以計算EC的長度，根據BC=BE+EC即可求出BC的長度；

（2）由于PD∥QC，所以當PD=QC時，四邊形PQCD為平行四邊形，根據PD=QC列出關于t的方程，解方程即可；

（3）首先過D作DE⊥BC于E，可求得EC的長，又由當PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（12-2t）=12時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案；

（4）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應考慮三種情況．結合路程=速度×時間求得其中的有關的邊，運用等腰三角形的性質和解直角三角形的知識求解．

試題解析：根據題意得：PA=2t，CQ=3t，則PD=AD-PA=12-2t．

（1）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，

DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，

在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，

∴EC==6cm，

∴BC=BE+EC=18cm．

（2）∵AD∥BC，即PD∥CQ，

∴當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，

即12-2t=3t，

解得t=秒，

故當t=秒時四邊形PQCD為平行四邊形；

（3）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，

當PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形．

過點P作PF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE．

在Rt△PQF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），

∴QF=CE，

∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，

即3t-（12-2t）=12，

解得：t=，

即當t=時，四邊形PQCD為等腰梯形；

（4）△DQC是等腰三角形時，分三種情況討論：

①當QC=DC時，即3t=10，

∴t=；

②當DQ=DC時，

∴t=4；

③當QD=QC時，3t×

∴t=．

故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時t的值為秒或4秒或秒．