Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角．

實驗與操作：

根據要求進行尺規作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）

（1）作∠DAC的平分線AM；

（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE，CF．

猜想并證明：

判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）四邊形AECF的形狀為菱形．

【解析】

試題分析：先作以個角的交平分線，再作線段的垂直平分線得到幾何圖形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，則利用三角形外角性質可得∠CAM=∠ACB，再根據線段垂直平分線的性質得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可證明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根據菱形的判定方法易得四邊形AECF的形狀為菱形．

解：如圖所示，

四邊形AECF的形狀為菱形．理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中

，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

即AC和EF互相垂直平分，

∴四邊形AECF的形狀為菱形．