Question

如圖，直線l：y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別交于點M，N．點P從點N出發，以每秒1個單位長度的速度沿N→O方向運動，點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿O→M的方向運動．已知點P、Q同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）直接寫出點M，N的坐標；
（2）當t為何值時，PQ與l平行？
（3）設四邊形MNPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）將M和N代入直線l：y=-

3

4

x+6中即可求出M和N的坐標；
（2）當OP×OM=OQ×ON時，PQ與1平行，求出此時的時間t即可；
（3）四邊形MNPQ的面積可以看成△OMN的面積-△OPQ的面積，利用此等量關系即可列出關系式．

解答：解：（1）M（8，0），N（0，6）（2分）

（2）當PQ與l平行時，△NOM∽△POQ（3分）

MO

QO

=

NO

PO

即

8

2t

=

6

6-t

（4分）
∴10t=24，即t=2.4
∴當t=2.4秒時，PQ與l平行．（5分）
（其它解法參照給分）

（3）如圖所示：
當P點在線段NO上運動t秒時，OP=6-t，OQ=2t
∴S△POQ=

1

2

OP•OQ=-t²+6t（6分）
此時四邊形MNPQ的面積
S=S_△MON-S_△POQ=

1

2

×8×6-(-t2+6t)=t²-6t+24（7分）
=（t-3）²+15（0＜t＜4）（8分）
∴當t=3時，S的最大值為15．（9分）

點評：本題主要考查對于一次函數的應用以及相似三角形的理解；此外，還應注意三角形面積的求法．