Question

在平面直角坐標系中，點P是拋物線C：y=ax²在第一象限內上的一點，連接 OP，過點O作OP的垂線交拋物線于另一點Q，連接PQ，交y軸于點M．

（1）如圖1，若PQ∥x軸，且PQ=2，求拋物線C的解析式；
（2）如圖2，過點P作PA丄x軸于點A，設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示點Q的橫坐標為______；
②連接AM，求證：AM∥OQ；
（3）如圖3，將拋物線C：y=ax²作關于x軸的軸對稱變換，然后平移經過P，Q兩點得到拋物線C′，設拋物線C′的頂點為R，判斷四邊形OPRQ的形狀？

Answer 1

解：（1）∵PQ∥x軸，拋物線y=ax²的對稱軸為y軸，
∴OP=OQ，
∵OP⊥OQ，
∴△POQ是等腰直角三角形，
∵PQ=2，
∴OM=MP=×2=1，
∴點P的坐標為（1，1），
∴a=1，
∴拋物線C的解析式y=x²；

（2）如圖2，∵點P的橫坐標為m，
∴OA=m，PA=am²，
①過點Q作QB⊥x軸于B，設點Q的橫坐標為x，則點Q的縱坐標為y=ax²，
由OP⊥OQ易求△AOP∽△BQO，
∴=，
即=，
解得x=-，
即，點Q的橫坐標為-，
故答案為：-；

③設直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
∴直線PQ的解析式為y=（am-）x+，
令x=0，則y=，
∴點M（0，），
∵==am，==am，
∴=，
又∵∠OBQ=∠AOM=90°，
∴△BOQ∽△OAM，
∴∠BOQ=∠OAM，
∴AM∥OQ；

（3）如圖3，由翻折和平移的性質，∠R=∠POQ=90°，
∠OQR=∠OPR=∠OPQ+∠OQP=90°，
∴四邊形OPRQ是矩形．
分析：（1）根據二次函數的對稱性可得OP=OQ，從而得到△POQ是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出點P的坐標，然后代入拋物線解析式求出a，即可得解；
（2）根據點P的橫坐標求出OA、PA，①過點Q作QB⊥x軸于B，設點Q的橫坐標為x，表示出點Q的縱坐標，再根據△AOP和△BQO相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
②設直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求出直線解析式，再求出點M的坐標，然后根據兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△BOQ和△OAM相似，根據相似三角形對應角相等求出∠BOQ=∠OAM，再根據同位角相等，兩直線平行證明即可；
（3）作出圖形，然后根據四個角都是直角的四邊形是矩形判斷即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數圖象的軸對稱性，等腰直角三角形的判定與性質，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，（3）根據幾何變換的性質作出圖形更形象直觀．