Question

如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1，0），點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點A的坐標為

（0，2）

，點B的坐標為

（-3，1）

；
（2）拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（4）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據勾股定理求出OA的長，即可得出點A的坐標，再求出OE、BE的長即可求出B的坐標；
（2）把點B的坐標代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；
（3）先求出點D的坐標，再用待定系數法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長，再根據S_△DBC=S_△CEB+S_△CED進行計算即可；
（4）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP₁C≌△FBC，再由全等三角形的對應邊相等可得出點P₁點的坐標；
②若以點A為直角頂點；則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，由全等三角形的性質可得出點P₂的坐標；點P₁、P₂的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可．

解答：解：（1）∵C（-1，0），AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=

5-1

=2，
∴A（0，2）；
過點B作BF⊥x軸，垂足為F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC與△CFB中，
∵

∠FBC=∠ACO BC=AC ∠BCF=∠CAO

，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐標為（-3，1），
故答案為：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
∴拋物線解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（3）由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點D（-

1

2

，-

17

8

），
設直線BD的關系式為y=kx+b，將點B、D的坐標代入得：

-3k+b=1 - 1 2 k+b=- 17 8

，
解得

k=- 5 4 b=- 11 4

．
∴BD的關系式為y=-

5

4

x-

11

4

．
設直線BD和x 軸交點為E，則點E（-

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴S_△DBC=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（4）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；
則延長BC至點P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCF，∠P₁MC=∠BFC=90°，
∴△MP₁C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P₁M=BF=1，
∴P₁（1，-1）；
②若以點A為直角頂點；
則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
過點P₂作P₂N⊥y軸，同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（2，1），
經檢驗，點P₁（1，-1）與點P₂（2，1）都在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、二次函數的性質、勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．