Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E．

（1）求直線BC的解析式；
（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意令y=0，即x2﹣4x﹣5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

∴A（﹣1，0），B（5，0）

∴C點坐標為（0，﹣5），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則

解得k=1，b=﹣5，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣5

（2）解：設點D的橫坐標為m，則D點的坐標為（m，m2﹣4m﹣5），則E點的坐標為（m，m﹣5），

∵點D是直線BC下方拋物線上一點，

∴DE的長度：m﹣5﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m=﹣（m﹣ ）+ ，

∵a=﹣1＜0，

∴當m= 時，線段DE的長度最大，

此時D點的坐標為（ ，﹣ ）

【解析】（1）解一元二次方程求出A、B的坐標，根據y軸上點的坐標特征求出點C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，表示出D點的坐標和E點的坐標，根據二次函數的性質解答即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．