Question

（北師大版）如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線a：y=-x-與坐標軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與X軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，同時，直線a繞點A順時針勻速旋轉．當⊙B第一次與⊙O相切時，直線a也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉多少度；
（3）如圖2，過A，O，C三點作⊙O₁，點E是劣弧上一點，連接EC，EA．EO，當點E在劣弧上運動時（不與A，O兩點重合），的值是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點A，C的坐標，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．
（2）依題意，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，連接B₁O，B₁N，則MN=3．連接B₁A，B₁P可推出∠PAB₁=∠NAB₁．又因為OA=OB₁=，故∠AB₁O=∠NAB₁，∠PAB₁=∠AB₁O繼而推出PA∥B₁O．然后在Rt△NOB₁中∠B₁ON=45°，∴∠PAN=45°得出∠PAC=90°．然后可得直線AC繞點A平均每秒90度．
（3）在CE上截取CK=EA，連接OK，證明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可證明=．
解答：解：（1）令直線a：y=-x-中，y=0求出x=-，
∴A（-，0），
令x=0求出y=-，∴C（0，-），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線α旋轉到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點P，⊙B₁與x軸相切于點N，
連接B₁O，B₁N，則MN=t，OB₁=，
B₁N⊥AN，∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=，∴∠AB₁O=∠NAB₁∴∠PAB₁=∠AB₁O．∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，∴∠PAC=90°，即順時針轉動270°，
∴直線AC繞點A平均每秒90°．

（3）的值不變，等于，如圖
在CE上截取CK=EA，連接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK，
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=EO，∴=．
點評：命題立意：此題綜合考查了點的坐標的求法、函數、圖形的平移與旋轉、圓的有關性質等知識．此題綜合性強，難度較大，把重點知識穿插進行了考查．