Question

3、要使關于x的方程||x-3|-2|=a有三個整數解，則a的值是多少？

Answer 1

分析：先根據對值的性質求出a的取值范圍，去掉絕對值符號，再根據方程有3個不同的整數解，則x₁，x₂，x₃，x₄中必有2個相同，列出關于a的方程，求出a的值即可．

解答：解：∵||x-3|-2|=a，
∴a≥0．
∴|x-3|-2=a或|x-3|-2=-a．
當|x-3|-2=a時，|x-3|=2+a，
∴x-3=2+a或x-3=-2-a．
∴x₁=5+a，x₂=1-a，
當|x-3|-2=-a時，|x-3|=2-a，a≤2，
∴x-3=2-a或x-3=-2+a，
∴x₃=5-a，x₄=1+a，
若方程有3個不同的整數解，則x₁，x₂，x₃，x₄中必有2個相同．
當x₁，x₂=2時，a=-2，與a≥0矛盾；
當x₁=x₃時，a=0，此時原方程有2個解；
當x₁=x₄時，a無解；
當x₂=x₃時，a無解；
當x₂=x₄時，a=0，此方程有2個解；
當x₃=x₄時，a=2．
綜上有：當a=2時，原方程有3個不同的解．
故答案為：2．

點評：本題考查是方程的整數根及絕對值的性質，能根據題意判斷出x₁，x₂，x₃，x₄中必有2個相同是解答此題的關鍵．