Question

（2008•甘南州）如圖，AB是半圓O的直徑，F是半圓上一點，D是OA上一點，過點D作ED⊥AB，交半圓于點C，交BF的延長線于點E，連接AC，AF，BC．
（1）求證：∠E=∠BCF；
（2）求證：BC²=BF•BE；
（3）若BC=12，CF=6，BF=9，求sin∠AFC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理可得∠1=∠2，由于AB是半圓O的直徑，所以∠AFB=90°，即∠2+∠ABF=90°；由于ED⊥AB，所以∠E+∠ABF=90°；故∠E=∠2=∠1，即∠E=∠BCF．
（2）由（1）可知∠E=∠BCF，因為∠CBF=∠CBF，故△BCE∽△BFC；
根據相似三角形的性質即可求出BC²=BF•BE．
（3）將圓補全，利用割線定理解答．
解答：（1）證明：∵∠1=∠2，∠AFB=90°，
∴∠2+∠ABF=90°；
∵∠ABF+∠E=90°，
∴∠E=∠1，即∠E=∠BCF；

（2）證明：在△BCE與△BFC中，∠E=∠BCF，∠CBF=∠CBF；
故△BCE∽△BFC，∴=，即BC²=BF•BE；

（3）解：將半圓補全，延長ED，交⊙O于K．
∵BC²=BF•BE，BC=12，BF=9；
∴BE=；
∴CE=××6==8；
∴EF=EB-FB=-9==7；
∵EF•EB=EC•EK，即7×=8×（8+2CD）；解得CD=3．
在Rt△BCD中，BC=12；因此sin∠DBC===．
又因為∠AFC=∠DBC，所以sin∠AFC=．
點評：此題是一道圓與相似三角形結合的題目，主要考查同學們的綜合運用能力．