Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AD=b，點E、F分別是兩腰AB、CD上的點，且EF∥AD，設AE=d₁、BE=d₂，
研究、發現：
（1）當時，有EF=；
當時，有EF=；
當時，有EF=；
（2）當時，有EF=；當時，有EF=；
當時，有．
填空：①當時，有EF=______；當時，EF=______．
猜想、證明
②時，分別能得到什么結論（其中m、n均為正整數）并證明你的結論；
③進一步猜想當時，有何結論（其中m、n均為正整數）寫出你的結論．
解決問題
（3）如圖2，有一塊梯形木框ABCD，AD∥BC，AD=1米，BC=3米，AB=5米，要在中間加兩個橫檔．操作如下：在AD上取兩點E、F，使AE=2米，EF=1.5米，分別從E、F兩處做與兩底平行的橫檔EM、FN，求需要木條的總長．

Answer 1

【答案】分析：①根據上述具體式子，即可發現規律，寫出結論；
②首先根據具體式子，發現規律，寫出結論；作平行線，構造一個平行四邊形和三角形，根據平行四邊形的性質和相似三角形的性質進行求解；
③綜合上述結論，即可猜想到EF的結果；
④利用上述結論，求得EM和FN的長．
解答：解：（1）當時，EF=；
當時，EF=；
當時，EF=．
當=時，EF=．
證明：作AG∥CD交BC于點G，交EF于點H，
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABG．
因為=，
所以，，∴，
∴．

（2）當時，EF=．

（3）因為AE：BE=2：3，由（2）中的結論可得：
EM=（米）
由于AF：BF=3.5：1.5=7：3，
由（2）中的結論可得：
FN=（米）
故兩木條的總長度是1.8+2.4=4.2（米）．
點評：此題綜合運用了平行四邊形的性質和相似三角形的性質，進行探索結論．能夠根據探索的結論進行有關的計算．