Question

（2013•湖州一模）如圖，平面直角坐標系xOy中，Rt△AOB的直角邊OA在x軸的正半軸上，點B在第一象限，并且AB=3，OA=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉90度得到△COD．點P從點C出發（不含點C），沿射線DC方向運動，記過點D，P，B的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a＜0）．
（1）直接寫出點D的坐標．
（2）在直線CD的上方是否存在一點Q，使得點D，O，P，Q四點構成的四邊形是菱形？若存在，求出P與Q的坐標．
（3）當點P運動到∠DOP=45度時，求拋物線的對稱軸．
（4）求代數式a+b+c的值的取值范圍（直接寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質可得OC=OA，CD=AB，然后根據點D在第二象限寫出坐標即可；
（2）根據菱形的對角線互相垂直平分可得CD=CP，CQ=OC，然后寫出點P、Q的坐標即可；
（3）延長AB交直線DP于H，連接BP，根據旋轉的性質可得∠AOB=∠COD，OA=OD，然后求出∠BOP=45°，從而得到∠BOP=∠DOP，再利用“邊角邊”證明△BOP和△DOP全等，根據全等三角形對應邊相等可得PB=PD，設P（x，6），然后求出四邊形OAHC是正方形并表示出PB、PH、BH，在Rt△PBH中，利用勾股定理列方程求出x的值，再根據二次函數的對稱性求出對稱軸即可；
（4）根據二次函數的對稱性和最值問題可得點C、P重合時，x=1時，a+b+c的值最小，然后利用待定系數法求出二次函數解析式，再求出x=1時的函數值，即可得解．

解答：解：（1）∵△AOB繞點O逆時針旋轉90度得到△COD，
∴OC=OA=6，CD=AB=3，
∵點D在第二象限，
∴D（-3，6）；

（2）在直線CD的上方是否存在一點Q，使得點D，O，P，Q四點構成的四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形DOPQ是菱形，
∴CD=CP=3，CQ=OC=6，
∴OQ=6+6=12，
∴點P（3，6），Q（0，12）；

（3）如圖，延長AB交直線DP于點H，連接BP，
由旋轉的性質得，∠AOB=∠COD，OA=OD，
∵∠DOP=45°，
∴∠DOC+∠COP=∠AOB+∠COP=45°，
∴∠BOP=90°-（∠AOB+∠COP）=90°-45°=45°，
∴∠BOP=∠DOP，
在△BOP和△DOP中，

OA=OD ∠BOP=∠DOP OP=OP

，
∴△BOP≌△DOP（SAS），
∴PB=PD，
設P（x，6），
則PB=DP=x+3，
在正方形OAHC中，PH=6-x，BH=6-3=3，
在Rt△BPH中，由勾股定理得，PH²+BH²=PB²，
∴（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得，x=2，
∴P（2，6），
又∵D（-3，6），
∴對稱軸是直線x=

-3+2

2

=-

1

2

；

（4）∵B（6，3），D（-3，6）在拋物線上，
∴

36a+6b+c=3 9a-3b+c=6

，
∴b=-3a-

1

3

，c=5-18a，
∴a+b+c=-20a+

14

5

，
可得開口越小，a+b+c越大，
∴點C、P重合時，x=1時，a+b+c的值最小，
此時，P（0，6），
∵B（6，3），D（-3，6）在拋物線上，
∴

36a+6b+c=3 9a-3b+c=6 c=6

，
解得

a=- 1 18 b=- 1 6 c=6

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

18

x²-

1

6

x+6，
當x=1時，a+b+c=-

1

18

-

1

6

+6=

52

9

，
∴代數式a+b+c的值的取值范圍為a+b+c＞

52

9

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了旋轉的性質，菱形的性質，全等三角形的判定與性質，二次函數的對稱性，待定系數法求二次函數解析式，（3）利用勾股定理列式求解得到點P的坐標是解題的關鍵，（4）判斷出點C、P重合時代數式的值最小是解題的關鍵．