Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動（不與A、B點重合），點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動（不與D、A點重合），如果P、Q同時出發，用t（s）表示運動時間，則：
（1）若△QAP的面積為y，試求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（2）當t為何值時，以Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，根據題意可得AP=2tcm，DQ=tcm，AQ=AD-DQ=6-t（cm），繼而可得y與t之間的函數關系式；
（2）分別從當

AQ

AB

=

AP

BC

時，△APQ∽△BCA與當

AQ

BC

=

AP

AB

時，△APQ∽△BAC，繼而求得t的值．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，
∴AD=BC=6cm，
根據題意得：AP=2tcm，DQ=tcm，
∴AQ=AD-DQ=6-t（cm），
∴S_△PAQ=y=

1

2

AP•AQ=

1

2

×2t×（6-t）=-t²+6t（0＜t＜6）；
∴y與t之間的函數關系式為：y=-t²+6t，自變量t的取值范圍為：0＜t＜6；

（2）∵∠PAQ=∠B=90°，
∴當

AQ

AB

=

AP

BC

時，△APQ∽△BCA，
即

6-t

12

=

2t

6

，
解得：t=1.2，
∴當

AQ

BC

=

AP

AB

時，△APQ∽△BAC，
即

6-t

6

=

2t

12

，
解得：t=3，
∴當t=1.2或t=3時，以Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及矩形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．