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(1)如圖,矩形ABCD中,AB=5cm,BC=2cm,在AB邊上取一點E,(點E與A,B不重合),連接CE、DE,分矩形ABCD所成的3個三角形都相似.我們把這樣的點E叫做矩形ABCD的AB邊上的全相似點,在圖的AB邊上畫出滿足要求的全相似點E,并求AE的長;(畫圖工具不限,可以簡單說明)
(2)對于任意一個矩形ABCD,AB邊上是否一定存在這樣的全相似點E?如果一定存在,請說明理由;如果不一定存在,請舉例說明;
(3)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,當點E是四邊形ABCD的AB邊上的一個全相似點時.請探究:AE與BE的數量關系,并說明理由.

【答案】分析:(1)根據相似三角形對應角相等可得∠A=∠B=∠CED,作以CD為直徑的圓,與AB的交點即為所求的點E,根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AE的值;
(2)根據(1)的作法,若矩形的寬大于長的一半,則圓與另一邊沒有交點,也就不存在全相似點;
(3)根據全相似點的定義可得△ADE和△BEC相似,再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可.
解答:解:(1)如圖,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∵三個三角形都相似,
∴∠CED=90°,
以CD為直徑作⊙O,與AB相交,交點即為點E,
設AE=x,則BE=AB-AE=5-x,
∵△ADE∽△BEC,
=
=
整理得,x1=1,x2=4,
所以,AE的長為1cm或4cm;

(2)由(1)可知,當矩形的長AB<2AD時,圓與AB沒有交點,所以AB邊上不存在這樣的全相似點E;

(3)AE與BE的數量關系為:AE•BE=AD•BC.
理由如下:如圖,∵點E是四邊形ABCD的AB邊上的一個全相似點,
∴△ADE∽△BEC,
=
∴AE•BE=AD•BC.
點評:本題是相似三角形綜合題,主要考查了相似三角形的對應邊成比例的性質,讀懂題目信息,理解全相似點的定義,判斷出∠CED=90°,從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E,則陰影部分的面積為
 
.(結果保留π)

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精英家教網如圖,矩形ABCD的周長為12cm,E為BC的中點,AE⊥ED于點E,則AB=
 
cm.

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如圖,矩形ABCD的邊AD在y軸上,AD的中點與原點O重合,AB=1,AD=2,過定點P(3,0)和y軸上的動點E(0,b)的直線與矩形ABCD的邊有公共點,則b的取值范圍是
-
3
2
≤b≤
3
2
-
3
2
≤b≤
3
2

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(2012•寧德)如圖,矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負半軸上,且OD=10,OB=8,將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉,使點C恰好與x軸上的點A重合
(1)直接寫出點A、B的坐標:A(
6
6
0
0
)、B(
0
0
-8
-8
);
(2)若拋物線y=-
1
3
x2+bx+c經過A、B兩點,則這條拋物線的解析式是
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8

(3)若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點,作MN⊥x軸于點N,問是否存在點M,使△AMN與△ACD相似?若存在,求出點M的橫坐標;若不存在,說明理由;
(4)當
7
2
≤x≤7時,在拋物線上存在點P,使△ABP得面積最大,求△ABP面積的最大值.

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如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,現將紙片折疊壓平,使A與C重合,設折痕為EF,則重疊部分△AEF的面積等于
10
10

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