Question

【題目】張老師利用休息時間組織學生測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，山坡與水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A處測得大樹頂端點C的仰角為45°，沿坡面前進20米，到達B處，又測得樹頂端點C的仰角為60°（圖中各點均在同一平面內），求這棵大樹CD的高度（結果精確到0.1米，參考數據：≈1.732）

Answer 1

【答案】解：如圖，過B作BE⊥CD交CD延長線于E，

∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，
∴∠CAB=15°
∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，
∴∠CBD=30°，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∴∠CAB=∠ACB=15°，
∴AB=BC=20，
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，
∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，
在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，
∴DE=BEtan∠DBE=10×，
∴CD=CE﹣DE=≈11.5，
答：這棵大樹CD的高度大約為11.5米．
【解析】過B作BE⊥CD交CD延長線于E，由∠CAN=45°，∠MAN=30°，得到∠CAB=15°，由∠CBD=60°，∠DBE=30°，得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE﹣DE即得到樹高CD．
此題考查了直角三角形中俯角與仰角的問題，通過構造直角三角形利用勾股定理即可求出大樹的高度是多少的問題.