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提出問題：如圖1，在四邊形ABCD中，P是AD 邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什 么關系？
探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形人手：

（1）當AP=AD時（如圖2）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=
∵PD=AD-AP=，
△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=，
∴S△PBC=


；
（2）當AP=AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；
（3）當AP=AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：______；
（4）一般地，當AP=AD（n表示正整數）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；
問題解決：當AP=時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________。
解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=，
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=，
∴ S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四邊形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四邊形ABCD-（S四邊形ABCD-S△DBC）-（S四邊形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC；
（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD
 又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA，
∴S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四邊形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四邊形ABCD-（S四邊形ABCD-S△DBC）-（S四邊形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC，
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC
問題解決：S△PBC=S△DBC+S△ABC。
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    相關習題

    科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

    閱讀下列材料，解答相應問題：
    已知△ABC是等邊三角形，AD是高，設AD=h．點P（不與點A、B、C重合）到AB的距離PE=h1，到AC的距離PF=h2，到BC的距離PH=h3．
    如圖1，當點P與點D重合時，我們容易發現：h1=
    1
    2
    h，h2=
    1
    2
    h，因此得到：h1+h2=h．
    小明同學大膽猜想提出問題：如圖2，若點P在BC邊上，但不與點D重合，結論h1+h2=h還成立嗎？通過證明，他得到了肯定的答案．證明如下：
    證明：如圖3，連接AP．
    ∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
    設等邊三角形的邊長AB=BC=CA=a．
    ∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
    ∴
    1
    2
    BC•AD=
    1
    2
    AB•PE+
    1
    2
    AC•PF
    ∴
    1
    2
    a•h=
    1
    2
    a•h1+
    1
    2
    a•h2．
    ∴h1+h2=h．
    （1）進一步猜想：當點P在BC的延長線上，上述結論還成立嗎？若成立，請你證明；若不成立，請猜想h1，h2與 h之間的數量關系，并證明．（借助答題卡上的圖4）
    （2）我們容易知道，當點P在CB的延長線及直線AB，AC上時，情況與前述類似，這里不再說明．
    繼續猜想，你會進一步提出怎樣的問題呢？請在答題卡上借助圖5精英家教網畫出示意圖，寫出你提出的問題，并直接寫出結論，不必證明．

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    科目：初中數學 來源： 題型：

    提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？精英家教網
    探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
    （1）當AP=
    1
    2
    AD時（如圖②）：
    精英家教網
    ∵AP=
    1
    2
    AD，△ABP和△ABD的高相等，
    ∴S△ABP=
    1
    2
    S△ABD．
    ∵PD=AD-AP=
    1
    2
    AD，△CDP和△CDA的高相等，
    ∴S△CDP=
    1
    2
    S△CDA．
    ∴S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP
    =S四邊形ABCD-
    1
    2
    S△ABD-
    1
    2
    S△CDA
    =S四邊形ABCD-
    1
    2
    （S四邊形ABCD-S△DBC）-
    1
    2
    （S四邊形ABCD-S△ABC）
    =
    1
    2
    S△DBC+
    1
    2
    S△ABC．
    （2）當AP=
    1
    3
    AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；
    （3）當AP=
    1
    6
    AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：
     
    ；
    （4）一般地，當AP=
    1
    n
    AD（n表示正整數）時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；
    問題解決：當AP=
    m
    n
    AD（0≤
    m
    n
    ≤1）時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：
     
    ．

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    科目：初中數學 來源： 題型：

    提出問題：如圖，在“兒童節”前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
    精英家教網
    背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這條線為梯形的“等分積周線”．
    嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
    （2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條直線EF分別交AD、BC于點E、F．你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
    （3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．若圖2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．請你找出梯形ABCD的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

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    科目：初中數學 來源：2013年浙江省衢州市高級中等學校招生考試數學 題型：044

    提出問題

    (1)如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點(不含端點B、C)，連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC＝∠ACN．

    類比探究

    (2)如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C)，其它條件不變，(1)中結論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由．

    拓展延伸

    (3)如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點(不含端點B、C)，連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．

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