Question

（1999•南京）已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AD=6，AE=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；
（2）先利用切割線定理可求出半徑OD，容易證出△AED∽△ABE；設DE=x，BE=2x，利用相似比，結合勾股定理可求x，從而求出DE的長．
解答：（1）證明：連接OE；（1分）
∵⊙O是△BDE的外接圓，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直徑，（不證直徑，不扣分）
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，（2分）
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，（3分）
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切線；（4分）

（2）解：∵AE是⊙O的切線，
AD=6，AE=6，
∴AE²=AD•AB，（5分）
∴AB===12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，（6分）
∴；
設DE=x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，（7分）
∴2x²+4x²=36，
解得x=±（負的舍去），
∴DE=2．（8分）
點評：本題利用了平行線的性質、切線的判定、切割線定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識．