Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PE∥AB；
（2）設△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S_△PEQ=S_△BCD？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發生變化？說明理由．

Answer 1

解：（1）當PE∥AB時，
∴．
而DE=t，DP=10-t，
∴，
∴，
∴當（s），PE∥AB．

（2）∵線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，
∴EF平行且等于CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴．
．
∴．
過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=CD=2cm，
∴cm，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴．
∴．
∴．
∴S_△PEQ=EQ•PN=××．

（3）S_△BCD=CD•BM=×4×4=8，
若S_△PEQ=S_△BCD，
則有-t²+t=×8，
解得t₁=1，t₂=4．

（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD=8．
∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變．
分析：（1）若要PE∥AB，則應有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（2）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S_△PEQ=EQ•PN得到y與t之間的函數關系式；
（3）利用S_△PEQ=S_△BCD建立方程，求得t的值；
（4）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即五邊形的面積不變．
點評：本題利用了平行線的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強，難度較大．