Question

（2009•聊城）如圖，已知正方形ABCD的邊長與Rt△PQR的直角邊PQ的長均為4cm，QR=8cm，AB與QR在同一條直線l上．開始時點Q與點B重合，讓△PQR以1cm/s速度在直線l上運動，直至點R與點A重合為止，ts時△PQR與正方形ABCD重疊部分的面積記為Scm²．
（1）當(dāng)t=3s時，求S的值；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）寫出t為何值時，重疊部分的面積S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t=3秒時，QB=3，BR=QR-QB=5．根據(jù)Rt△RBM∽Rt△RQP中的成比例線段，可求得BM=．所以S=（QP+BM）•QB=（平方厘米）．
（2）同（1），當(dāng)0≤t≤4時，如圖1所示，則QB=t，BR=8-t所以BM=即S=-t²+4t；當(dāng)4＜t≤8時，QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t，所以AM=，BN=，即S=AM•AR=-t²+4t（8＜t≤12）；
（3）當(dāng)t=4時，重疊部分面積S有最大值，并且S的最大值為12平方厘米．
解答：解：
（1）當(dāng)t=3秒時，如圖1所示，設(shè)PR與BC交于點M，則QB=3，BR=QR-QB=5
∵Rt△RBM∽Rt△RQP
∴，即
∴BM=
∴S=（QP+BM）•QB=×（4+）×3=（平方厘米）．

（2）當(dāng)0≤t≤4時，如圖1所示，則QB=t，BR=8-t
由（1）知，即．
∴BM=．
∴S=
當(dāng)4＜t≤8時，如圖2所示，設(shè)PR分別與DA、CB交于點M、N，則
QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴=，即，
∴AM=．
∵Rt△RBN∽Rt△RQP，
∴，即，
∴BN=
∴S=
當(dāng)8＜t≤12時，如圖3所示，設(shè)PR交DA于點M，則QB=t，RB=t-8，AR=4-RB=12-t．
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴，即
∴AM=
∴S=
綜上所述，S=

（3）當(dāng)t=4時PQ與DA重合，再向左移動，則重疊部分梯形的面積減小．故t=4s時，重疊部分面積S有最大值，并且S的最大值為12平方厘米．
點評：主要考查了正方形和二次函數(shù)的綜合題．要掌握數(shù)形結(jié)合的方法，會利用二次函數(shù)的最值找到幾何圖形著的動點問題的最值．注意分段函數(shù)的表示方法即求算方法．