Question

如圖，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且滿足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．
（1）求∠EOC的度數(shù)；
（2）若平行移動AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；
（3）在平行移動AC的過程中，是否存在某種情況，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵CB∥OA，
∴∠BOA+∠B=180°，
∴∠BOA=80°，
∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=∠BOF+∠FOA=（∠BOF+∠FOA）=×80°=40°；

（2）不變．
∵CB∥OA，
∴∠OCB=∠COA，∠OFB=∠FOA，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠COA=∠FOA，即∠OCB：∠OFB=1：2．

（3）在平行移動AC的過程中，存在∠OEB=∠OCA，且∠OCA=60°．
設(shè)∠OCA=α，∠AOC=x，
∵∠OEB=∠COE+∠OCB=40°+x，
∠ACO=80°-x，
∴α=80°-x，40°+x=α，
∴x=20°，α=60°．
分析：（1）由于BC∥OA，∠B=100°，易求∠AOB，而OE、OC都是角平分線，從而可求∠COE；
（2）利用BC∥OA，可知∠AOC=∠BCO，又因為∠AOC=∠COF，所以就有∠FCO=∠FOC，即∠BFO=2∠FCO=2∠OCB，那么∠OCB：∠OFB=1：2；
（3）設(shè)∠OCA=α，∠AOC=x，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)可得，α+x=80°，40°+x=α，解即可．
點評：兩直線平行時，應(yīng)該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達到解決問題的目的．