Question

已知二次函數的圖象如圖所示．
（1）求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標；
（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）將△OAC補成矩形，使上△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．

Answer 1

分析：（1）利用交點式可以求出二次函數解析式，再利用公式法求出頂點坐標，
（2）運用兩點求出直線BM解析式，再表示出四邊形面積，
（3）根據使△PAC為直角三角形，三個角依次分析當等于直角時，得出不同結論．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．

解答：解：（1）設拋物線的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x²-x-2，其頂點坐標是（

1

2

，-

9

4

）；

（2）設線段BM所在的直線的解析式為：y=kx+b（k≠0），
點N的坐標為N（h，-t），
則

0=2k+b - 9 4 = 1 2 k+b

，
解它們組成的方程組得：

k= 3 2 b=-3

，
所以線段BM所在的直線的解析式為：y=

3

2

x-3，
N點縱坐標為：-t，
∴-t=

3

2

h-3，
∴h=2-

2

3

t，
其中

1

2

＜h＜2，
∴s=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）（2-

2

3

t）=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∴s與t間的函數解析式為，
s=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∵M點坐標是（

1

2

，-

9

4

）；
∴QN最大值為：

9

4

，
∴自變量的取值圍是：0＜t＜

9

4

；

（3）存在符合條件的點P，且坐標是：P₁（

5

2

，

7

4

），P₂（

3

2

，-

5

4

）．
設點P的坐標為P（m，n），則 n=m²-m-2，PA²=（m+1）²+n²
PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：
（�。┤簟螦CP=90°則AP²=PC²+AC²．
可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，
解得：m1=

5

2

，m₂=-1（舍去）．
所以點P（

5

2

，

7

4

）
（ⅱ）若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²
∴n=m²-m-2
（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5
解得：m3=

3

2

，m₄=0（舍去）．所以點P（

3

2

，-

5

4

）．
（ⅲ）由圖象觀察得，當點P在對稱軸右側時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對邊上，
如圖，此時未知頂點坐標是點P（-1，-2），以點A，點C為矩形的兩頂點，
第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，
如圖，此時未知頂點坐標是P₁（-1，-2），P₂（-

1

5

，

2

5

）或
（

4

5

，-

8

5

）．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的求法，以及頂點坐標計算，四邊形面積計算，矩形的性質等，綜合性比較強．