Question

設α、β是關于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的兩個實數根，且α、β滿足α²+β²-αβ=5，求k的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系和代數式變形求則可．設x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的兩個實數根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
欲求k的值，先把α²+β²-αβ=5的左邊變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值列出方程解即可．

解答：解：α、β是關于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的兩個實數根，
α+β=-

2k-4

k

，αβ=

k+4

k

，
由α²+β²-αβ=5
（α+β）²-3αβ=5
(-

2k-4

k

)2-3×

k+4

k

=5，
解得k=

-7- 65

2

或k=

-7+ 65

2

，
經檢驗都是方程的根．
△=[2（k-2）]²-4k（k+4）＞0，
解得k的范圍為k＜

1

2

．
∴k=

-7- 65

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是經常使用的一種解題方法，注意所求值的取舍．