Question

（1）如圖1，點C是線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在AB的同側作等邊△ACM和△CBN，連接AN，BM．分別取BM，AN的中點E，F，連接CE，CF，EF．觀察并猜想△CEF的形狀，并說明理由．
（2）若將（1）中的“以AC，BC為邊作等邊△ACM和△CBN”改為“以AC，BC為腰在AB的同側作等腰△ACM和△CBN，”如圖2，其他條件不變，那么（1）中的結論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求證△ACN≌△MCB，得出AN=BM，∠ANC=∠MBA，再證△NFC≌△BEC，得出CE=CF，∠BCE=∠NCF，利用等邊三角形的角度60，得出∠ECF=60°，證得結論成立；
（2）證明過程如上（1）中的結論只有CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的頂角≠60°，得出結論不成立．

解答：（1）如圖1，

△CEF是等邊三角形，
理由：∵等邊△ACM和△CBN，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠MCB NC=BC

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB，∠ANC=∠MBA，
在△NFC和△BEC中，

NF=BE ∠FNC=∠EBC NC=BC

，
∴△NFC≌△BEC（SAS），
∴EC=CF，
∵∠BCE+∠ECN=60°，∠BCE=∠NCF，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形；

（2）如圖2，

不成立，首先∠ACN≠∠MCB，
∴△ACN與△MCB不全等．
如果有兩個等腰三角形的頂角相等，那么結論也不成立，
證明方法與上面類似，只能得到CE=CF，而∠ECF只等于等腰三角形的頂角≠60°．

點評：此題綜合考查等邊三角形的性質與判定，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的性質等知識點．