Question

（2004•鹽城）如圖1，E為線段AB上一點，AB=4BE，以AE，BE為直徑在AB的同側作半圓，圓心分別為O₁，O₂，AC、BD分別是兩半圓的切線，C、D為切點．
（1）求證：AC=BD；
（2）現將半圓O₂沿著線段BA向點A平移，如圖2，此時半圓O₂的直徑E′B′在線段AB上，AC′是半圓O₂的切線，C′是切點，當為何值時，以A、C′、O₂為頂點的三角形與△BDO₁相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）如果設⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，那么根據AB=4BE，可知R=3r．連接O₁D，O₂C，那么O₁B=5r，AO₂=7r，可在直角△BO₁D中求出BD的長，同理求出AC的長，即可得出AC，BD的比例關系；
（2）本題要分兩種情況進行討論：
①當∠CAO₂=∠B時，O₂C，O₁D和AO₂，BO₁分別對應成比例．設AE′=kAB，那么可用k，r表示出AE′的長，然后代入比例關系式中即可求出k的值．
②當∠CAO₂=∠DO₁B時，AO₂，BO₁和O₂C，BD對應成比例，然后按①的方法即可求出此時k的值．
解答：（1）證明：連接O₁D，O₂C，設⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，
則R=3r
在直角三角形BO₁D中
∵BO₁=5r，O₁D=3r
∴BD=4r，
同理可求得AC=4r
∴AC=BD；

（2）解：設AE′=kAB，因此AE′=8kr
①當∠C′AO₂=∠B時，，即
∴k=，
②當∠C′AO₂=∠BO₁D時，，即
∴k=，
或時，以A、C′、O₂為頂點的三角形與△BDO₁相似．

點評：本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識點，要注意（2）中要按不同的相似三角形對應的成比例線段是不同的，因此要分類討論．不要漏解．