Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；
（3）當AD：AB=時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中點，

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）

（2）解：四邊形MENF是菱形．

證明如下：

∵E，F，N分別是BM，CM，CB的中點，

∴NE∥MF，NE=MF．

∴四邊形MENF是平行四邊形．

由（1），得BM=CM，∴ME=MF．

∴四邊形MENF是菱形

（3）2：1
【解析】（3）解：

當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形．理由：

∵M為AD中點，

∴AD=2AM．

∵AD：AB=2：1，

∴AM=AB．

∵∠A=90，

∴∠ABM=∠AMB=45°．

同理∠DMC=45°，

∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．

∵四邊形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形．

所以答案是：2：1．

【考點精析】利用菱形的判定方法和矩形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．