Question

如圖，∠AOB=45°，角內一點P，PO=10，兩邊上各有點Q，R（均不同于O），則△PQR的周長的最小值為______

Answer 1

【答案】分析：設點P關于OA的對稱點是E，關于OB的對稱點是F，當點R、Q在EF上時，△PQR的周長=PQ+QR+PR=EF，此時周長最小．
解答：解：如圖，作出點P關于OA的對稱點E，作出點P關于OB的對稱點F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
則PQ=EQ，PR=RF，
則△PQR的周長=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周長的最小值為10．
點評：考查等腰直角三角形的判定和性質，軸對稱的性質等知識的綜合應用．