Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.

(1) 求此二次函數解析式；

(2) 點為點關于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線∥交直線于點.問：在四邊形ABKD的內部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結、、，求和的最小值.

                                                

Answer 1

解:(1) ∵ 點A、B的坐標分別為（-1,0）、（3,0），

 ∴

       解得

       ∴ 二次函數解析式為.

                                      ……………2分

  （2）可求點C的坐標為（1，）

∴ 點D的坐標為（1，）.

可求 直線AD的解析式為  .

由題意可求 直線BK的解析式為.

∵ 直線的解析式為,

∴ 可求出點K的坐標為(5,).易求  .

∴ 四邊形ABKD是菱形.

∵ 菱形的中心到四邊的距離相等，

∴ 點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標為（2， ） . ……………5分

   (3) ∵ 點D、B關于直線AK對稱,

       ∴ 的最小值是.

過K作KF⊥x軸于F點.  過點K作直線AD的對稱點P,連接KP,交直線AD于點Q,

       ∴ KP⊥AD.

       ∵ AK是∠DAB的角平分線,

∴ .

       ∴的最小值是.即BP的長是的最小值.

       ∵ BK∥AD,

       ∴ .

       在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.

       ∴的最小值為8.                  ……………8分