Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上．
（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，試證明∠APE=60°的理由；
（2）如果BD=EC，那么“∠APE=60°”是否還能成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的三線合一，可知∠DAC=30°，在直角△AEP中，即可得出∠APE=60°；
（2）易證△ABD≌△BCE，得∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，則∠BAD+∠ABE=60°，根據三角形外角的性質，可得∠APE=60°；

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DAC=30°，
∴在直角△AEP中，
∠APE=90°-30°=60°；

（2）解：仍然成立．理由如下：
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABD=∠BCE BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，又∠CBE+∠ABE=60°，
∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，應熟記等腰三角形的三線合一及證明三角形全等的幾個判定方法．