Question

已知：三角形紙片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是邊AC上一點．將三角形紙片折疊，使點B與點B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F．
（1）設BE=x，B′C=y，試建立y關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；
（2）當△AFB′是直角三角形時，求出x的值．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質得BE=B′E=x，在Rt△EB'C中利用勾股定理得y²+（6-x）²=x²，整理后即可得到y關于x的函數關系式；
（2）根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠A=30°，由折疊的性質得到∠FB'E=∠B=60°，然后討論：①當∠AFB'=90°時，則∠AB′F=60°，易得∠B'EC=30°，
則B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，把y代入得到關于x的方程，解方程求出滿足條件的x的值；②當∠AB'F=90°時，則∠EB'C=30°，即有EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解方程即可．

解答：解：（1）∵三角形紙片折疊，使點B與點B′重合，
∴BE=B′E，
∴B'E=x，CE=6-x，
在Rt△EB'C中，B'E²=CE²+B'C²，即y²+（6-x）²=x²，
∴y=

12x-36

=2

3x-9

（3≤x≤6）；

（2）∵∠C=90°，AB=12，BC=6，
∴∠A=30°，
∴∠FB'E=∠B=60°，
①當∠AFB'=90°時，則∠AB′F=60°，
∴∠EB'C=60°，
∴∠B'EC=30°，
∴B′C=

1

2

B′E，即y=

1

2

x，
∴2

3x-9

=

1

2

x，解得x=24±12

3

，
∵3≤x≤6，
∴x=24-12

3

；
②當∠AB'F=90°時，則∠EB'C=30°，
∴EC=

1

2

EB′，即6-x=

1

2

x，解得x=4，
所以x=4或24-12

3

時，△AFB’是直角三角形．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及勾股定理．