Question

（2013•天津）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如圖①，求點E的坐標；
（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．
①設AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值時點E′的坐標；
②當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據相似三角形△OAE∽△OBA的對應邊成比例得到

OA

OB

=

OE

OA

，則易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B²=（2-m）²+4²=m²-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′²=E′E²+BE²=m²+9，則
A′B²+BE′²=2m²-4m+29=2（m-1）²+27．所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E′的坐標是（1，1）時，A′B²+BE′²取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵點A（-2，0），點B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴

OA

OB

=

OE

OA

，即

2

4

=

OE

2

，
解得OE=1，
∴點E的坐標為（0，1）；

（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．
由題設知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2-m．
在Rt△A′BO中，由A′B²=A′O²+BO²，得A′B²=（2-m）²+4²=m²-4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又∵BE=OB-OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′²=E′E²+BE²=m²+9，
∴A′B²+BE′²=2m²-4m+29=2（m-1）²+27．
當m=1時，A′B²+BE′²可以取得最小值，此時，點E′的坐標是（1，1）．

②如圖②，過點A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當點B、A′、B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴

AA′

A′O

=

AB′

OB

=

3

4

，
∴AA′=

3

7

×2=

6

7

，
∴EE′=AA′=

6

7

，
∴點E′的坐標是（

6

7

，1）．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質以及勾股定理等知識點．此題難度較大，需要學生對知識有一個系統的掌握．