Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E.

(1)連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；

(2)若設BP為x,CE為y，試確定y與x的函數關系式.當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？

(3)若PE∥BD，試求出此時BP的長.

E

 

Answer 1

【答案】

(1)∵△APE≌△ADE 

           ∴AP=AD=3

在Rt△ABP中，BP=

        (2) ∵AP⊥PE

            ∴Rt△ABP∽Rt△PCE

 

            ∴     即

∴ 

∴當 

(3)設BP=x,

∵PE∥BD 

∴△CPE∽△CBD                 

∴

 即

化簡得

解得

∴當BP= 時, PE∥BD.

【解析】（1）根據全等三角形的對應邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長度；

（2）根據相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的對應邊成比例列出關于x、y的方程，通過二次函數的最值的求法來求y的最大值；

（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數關系式設BP=x，則CE=-x²+x，然后根據相似三角形△CPE∽△CBD的對應邊成比例列出關于x的一元二次方程，通過解該方程即可求得此時BP的長度．