Question

已知：三角形ABC內接于⊙O，過點A作直線EF．
（1）如圖（1），AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，只需保證∠CAE=∠______，并證明之；
（2）如圖（2），AB為⊙O非直徑的弦，（1）中你所添出的條件仍成立的話，EF還是⊙O的切線嗎？若是，寫出證明過程；若不是，請說明理由并與同學交流．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使EF是⊙O的切線，必須∠BAE=90°，即∠EAC與∠BAC互余．而與∠BAC互余的另一個角ABC就是我們要找的角．
（2）把一般情況轉化為特殊情況，即（1）的情形，所以過A作直徑．證明的方法和前面一樣．
解答：（1）保證∠CAE=∠ABC；
證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
若∠CAE=∠ABC．
∴∠BAC+∠CAE=90°，
即∠BAE=90°，OA⊥AE．
∴EF為⊙O的切線．

（2）EF還是⊙O的切線．
證明：連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，如圖，
∴∠ADC=∠ABC．
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DAC+∠ADC=90°．
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC+∠CAE=90°．
∴∠DAE=90°，
即OA⊥EF
所以EF為⊙O的切線．
點評：熟練掌握切線的判定定理．把證明切線的問題轉化為證明線段垂直的問題．在解決數學問題中，要學會運用特殊情形解決一般情形．