Question

23、如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．
證明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切線．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由于AB是直徑，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根據等腰三角形三線合一定理可知BD=CD；
（2）連接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODB=90°，從而可證DE是⊙O切線．

解答：證明：如右圖所示，
（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）連接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ODB=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切線．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理、平行線的判定和性質、圓周角定理、切線的判定．解題的關鍵是連接OD、AD，并證明OD∥AC．