Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF=DE．連接BF、CF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）如果DE=6，EC=4，BE=9 求證四邊形ABFC是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，利用等腰梯形的性質得到AC=BD，再根據垂直平分線的性質得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；
（2）利用題目提供的線段長度可得出，從而可以證得兩直角三角形相似，得到對應角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
解答：證明：（1）連接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠ABC=∠DCB，
∴△ABD≌△DCA，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）∵DE=6，EC=4，BE=9，
∴DE²=BE•CE，，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四邊形ABFC是矩形．
點評：本題考查了等腰梯形的性質、全等及相似三角形的判定及性質等，是一道集合了好幾個知識點的綜合題，但題目的難度不算大，注意各知識點的融會貫通．