Question

一數學研究小組探究了以下相關的兩個問題，請你也試試．
（1）如圖1，已知△ABC，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線．試探究∠A與∠BOC的度數之間的關系．
（2）如圖2，已知點O是△ABC內切圓的圓心，點O′是△ABC外接圓的圓心．試探究∠BOC與∠BO′C的度數之間的關系．

Answer 1

解：（1）∠BOC=90°+∠A．
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠1+∠2=（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A；

（2）∠BOC=90°+∠BO′C．
∵點O是△ABC內切圓的圓心，
∴BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
由（1）知∠BOC=90°+∠A，
∵點O′是△ABC外接圓的圓心，
∴∠A是圓心角∠BO′C所對的圓周角，
∴∠A=∠BO′C．
∴∠BOC=90°+∠A=90°+×∠BO′C=90°+∠BO′C．
分析：（1）先根據BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線得出∠1+∠2=（180°-∠A），再根據∠1+∠2+∠BOC=180°即可得出結論；
（2）由點O是△ABC內切圓的圓心，可知BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，由（1）知∠BOC=90°+∠A，點O′是△ABC外接圓的圓心，故可得出∠A是圓心角∠BO′C所對的圓周角，故∠A=∠BO′C，再由三角形內角和定理即可得出結論．
點評：本題考查的是三角形的內切圓與內心，解答此類問題時往往用到三角形的內角和是180°這一隱藏條件．